§3. Các phép toán tập hợp

I. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp \(A\), vừa thuộc tập hợp \(B\) được gọi là giao của \(A\) và \(B\).

Kí hiệu \(C=A\cap B\)

Vậy \(A\cap B=\left\{x|x\in A;x\in B\right\}\)

       \(x\in A\cap B\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in A\\x\in B\end{matrix}\right.\)

Tập hợp \(A\cap B\) được biểu diễn bởi phần gạch chéo trong biểu đồ Ven sau:

Ví dụ 1: Xét các tập hợp:

           \(A=\) {\(n\in N\)\(|n\) là ước của 12} ;

           \(B=\) {\(n\in N\)\(|n\) là ước của 18};

           \(C=\) {\(n\in N\)\(|n\) là ước chung của 12 và 18}.

Ta có thể liệt kê phần tử của 3 tập hợp trên như sau:

          \(A=\left\{1,2,3,4,6,12\right\}\)

          \(B=\left\{1,2,3,6,9,18\right\}\)

          \(C=\left\{1,2,3,6\right\}\)

Ta thấy các phần tử của \(C\) đều là phần tử của \(A\) và của \(B\). Do đó \(C=A\cap B\).

II. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc tập hợp \(A\) hoặc thuộc tập hợp \(B\) được gọi là hợp của \(A\) và \(B\).

Kí hiệu \(C=A\cup B\)

Như vậy \(A\cup B=\) {\(x|x\in A\) hoặc \(x\in B\)}

               \(x\in A\cup B\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in A\\x\in B\end{matrix}\right.\)

Tập hợp \(A\cup B\) còn được biểu diễn bởi phần gạch chéo trên biểu đồ Ven sau:

Ví dụ 2: Xét tập hợp \(A=\left\{1,3,5,7,9\right\}\) 

               và tập hợp \(B=\left\{2,4,6,8,10\right\}\)

    Khi đó \(C=A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}\)

Ví dụ 3: Giả sử \(A\), \(B\) lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và giỏi Văn của lớp 10E. Biết: \(A=\) {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt} 

   và \(B=\) {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê}.

(các học sinh trong lớp không trùng tên nhau)

Gọi \(C\) là tập hợp đội tuyển thi học sinh giỏi của lớp bao gồm các học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn.

Ta có thể viết tập hợp \(C\) bằng cách liệt kê các phần tử như sau:

\(C=\) {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt, Cường, Dũng, Tuyết, Lê}

Ta nói rằng \(C\) là hợp của \(A\) và \(B\).

III. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp \(C\) gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) được gọi là hiệu của \(A\) và \(B\).

Kí hiệu: \(C=A\)\\(B\)

Vậy \(A\)\\(B\)\(=\left\{x|x\in A;x\notin B\right\}\)

       \(x\in\) \(A\)\\(B\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in A\\x\notin B\end{matrix}\right.\)

Tập hợp \(A\)\\(B\) còn được biểu diễn bởi phần gạch chéo trên biểu đồ Ven sau:

Ví dụ 4: Xét 2 tập hợp: 

              \(A=\left\{x\in N|x< 10,x⋮2\right\}\)

             \(B=\left\{x\in N|x< 10,x⋮4\right\}\)

Liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\)\​\(B\) .

Giải:

Ta có thể liệt kê các phần tử của các tập hợp trên như sau:

    \(A=\left\{0,2,4,6,8\right\}\)

    \(B=\left\{0,4,8\right\}\)

Như vậy \(A\)\\(B\) \(=\left\{2,6\right\}\).

Khi \(B\subset A\) thì \(A\)\\(B\) gọi là phần bù của \(B\) trong \(A\), kí hiệu là \(C_AB\). 

(Phần gạch chéo trong biểu đồ Ven dưới đây)